第１話の最後で書いていた「見落とし」が何だったのか、お読みになった皆さんはお気づきになったでしょうか？
その「見落とし」を示す、第１話の一文をここに引用します。
「３つの点が１直線上に並んでいない場合は、必ず曲線を描くことになります。」
第１話での結論は「１つの二次曲線を決めるためには、二次曲線上の５つの点を決めればよい」ということでした。
ところで、５つの点のうち、いくつかの点が直線上に並ぶ場合はどうなるでしょうか？
まず、５つの点の並び方から考えてみたいと思います。
２つの点については、それらを通る直線が１つあるのは明らかですから、点の並び方は次の４通りを考えればよいことになります。
（１） ５つの点すべてが１直線上に並ぶ場合
（２） ４つの点が１直線上に並び、残り１つの点はその直線上にない場合
（３） ３つの点が１直線上に並び、残り２つの点を結ぶ直線がその直線と交差する場合
（４） ３つの点が１直線上に並び、残り２つの点を結ぶ直線がその直線と平行になる場合
特に（１）の場合については、５つの点すべてを通る直線を考えるほうが自然ですね。
「ちょっと待って。第１話で言っていたことと話が違うじゃない？」と思われるでしょうから、ここで少しだけ、すべての二次曲線を表す式（一般式）を出すことにいたします。
Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０この式の中にある Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ は、曲線の形を決める定数でした。
（第１話から続けてお読みいただいている方なら、この式を出しても大丈夫でしょう。）
ここで、これらの定数を、Ａ＝０，Ｂ＝０，Ｃ＝０，Ｄ＝１，Ｅ＝−１，Ｆ＝１ としてみましょう。式の形は次のようになります。
ｘ−ｙ＋１＝０ →（書き直すと）→ ｙ＝ｘ＋１この式は、グラフを描くまでもなく、直線を表す式だということはお分かりいただけることと思います。
つまり、すべての二次曲線を表す式には、すべての直線を表す式（Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０）も含まれており、「直線は二次曲線の特別な場合である」とも言えるのです。
したがって「５つの点すべてが１直線上に並んだ場合」には「１つの直線が決まる」と考えてよいのです。
次のようなことも考えることができます。
二次曲線を表す式の定数を、Ａ＝１，Ｂ＝０，Ｃ＝１，Ｄ＝０，Ｅ＝０，Ｆ＝０ とした場合は、次の式ができます。
ｘ２−ｙ２＝０ →（因数分解すると）→ （ｘ＋ｙ）（ｘ−ｙ）＝０この式を二次方程式として見ると、これが成り立つ答えは、ｘ＋ｙ＝０ または ｘ−ｙ＝０ です。
ですが、この式を「二次曲線を表す式」として見るならば、この式は、ｘ＋ｙ＝０ と ｘ−ｙ＝０ という２つの直線を表す式が組み合わされた式として見ることができます。
つまり、「二次曲線を表す式」の中には、「２つの直線を合わせて表す式」も含まれているのです。
上の式の例では、２つの直線が交差しますが、平行な２直線の場合でも同じように考えられます。
このことから、「３つの点が１直線上に並んだ場合」の２通りでは、「２つの直線が決まる」ことになります。
また、「４つの点が１直線上に並んだ場合」には、やはり、２つの直線が通るものとして考えることになります。ただし、決めることができる直線は１つだけで、残り１つの点を通る直線は「自由に決められる」、言いかえると、「決まらない（不定）」ということになります。
やや難しい補足になりますが、二次曲線と直線との交点は、それらを表す二次式と一次式との連立方程式を解くことによって得られます。
ここで、クロネッカーの定理 「ｎ次の代数方程式はｎ個の根を有する」（重根および複素数根を含む） から、二次方程式の根は２個となりますので、二次曲線と直線との交点は２点以下（重根の場合は１点，複素数根の場合は交点がない）ということになります。
したがって、ある「二次曲線」上の３つ以上の点が１直線上に並ぶ場合には、その「二次曲線を表す式」を「１つまたは２つの直線を表す式」として扱うことになるのです。
続いて、第１話でお話しした内容から、もうひとつ引用することにしましょう。
「円，楕円，放物線，双曲線は、円錐曲線、つまり、円錐を１つの平面で切った時に、その切り口に現れる曲線として知られています。また、その曲線のグラフを ｘ，ｙ の記号を使った式として表すと、ｘ または ｙ の二次式（ｘ２，ｙ２ または ｘｙ を用いた式）で表されることから、二次曲線と言われます。」二次曲線を決める５点を並べることで、１つの直線、交差する２つの直線、または、平行な２つの直線ができる、というならば、そのような直線も円錐の切り口に現れるのでしょうか？
このことは、図を見ながら考えていくことにしましょう。
（円，楕円，放物線，双曲線となる円錐の切り口について説明された図は、多くの数学の参考書に掲載されていますので、そちらをごらんいただきたいと思います。）
まず、円錐とはどのような図形か、ということから見ていただくことにします。
図−４に示すように、円錐は１つの直線を軸にして、その直線に交差する直線を回転させた時にできる立体図形です。回転させた直線を、円錐の「母線」と言います。
図−４ 円錐と母線
したがって、図−５に示すように、１つの母線だけを含む平面で円錐を切れば、そこに１つの直線が現れる、ということになります。（この平面は、「円錐を切る平面」と言うより、「円錐に接する平面」と言うほうがよいですね。）
図−５ 円錐の切り口に現れる１直線
図−６ 円錐の切り口に現れる交差２直線
それでは、平行な２つの直線は、どのような平面で円錐を切れば現れるのでしょうか？
ちょっと困ったことになりました。
図−４〜図−６で示したように、円錐のすべての母線は、円錐の頂点で交差しています。
これでは、円錐をどのように切っても、平行な２つの直線は現れそうにありません。
残念ながら、この問題は、円錐を見ながら切り方を考えることが難しいようです。
それでは、最初に戻って考えなおすことにしましょう。
図−７では、３つの点を１直線上に並べ、残り２つの点を平行な直線上に並べました。
また、後の説明のために、図−７には１つの円も書き添えました。
図−７ ５点と平行２直線
それでは、図−７の円の両側を引っ張って楕円にしてみましょう。
図−８ 平行２直線と楕円（その１）
こうなったら、楕円を思い切り引き伸ばしてみましょう。
図−９ 平行２直線と楕円（その２）
表示の必要上、線にある程度の幅があるために、また、図−９は図−８と同じ範囲を示しているために、２つの直線と楕円とが重なってしまいました。
図−９の楕円は、ｘ２＋６２５００ｙ２−２５００００＝０ という式で表され、両端は、ｘ＝±５００の位置にあります。やはり、図−８に示した楕円と同じように、平行な２つの直線との接点は楕円の上下の２点（０，２）と（０，−２）だけですし、両端に視点を移せば、２直線と楕円は離れています。
と言ってみても、図−９の楕円の見た目はどうでしょう？ 平行な２直線とほとんど変わらないように見えます。
また、楕円をさらに引き伸ばすことは自由にできますから、図−９の楕円の両端の位置においても、２つの直線とほぼ重なるように見える楕円を考えることができます。
（１例として、ｘ２＋６２５００００００ｙ２−２５００００００００＝０ という式を挙げておくことにいたします。これから先の結論は、「極限」の概念を用いて導くこともできるのですが、話が混乱するかもしれませんので、「二次曲線エッセイ」シリーズ終了後に、付記としてまとめたいと思います。）
楕円を限りなく引き伸ばしたならば、それはどのような図形になるのでしょうか。
ここで、平行な２直線はどのような図形と言えるのか、ということも考えてみたいと思います。
平行な２直線は、次のように説明することができます。
「平行な２直線は、『どこまで遠くに行っても交差しない』２直線である。」
この文を、次のように読みかえることによって、この問題に１つの答えを出すことができます。
「平行な２直線は、『限りなく遠く（無限遠点）で交差する』２直線である。」
平行な２直線が「交差する」という考えに納得できない方もおられると思います。
ただし、上の文で書いた「無限遠点」とは、「ある位置」のことを表したものではありません。どのような遠い位置を考えたとしても、位置を決めるかぎり、それは有限の位置なのです。
「無限遠点」は、位置を決めること自体が無意味であり、上の文に書いたとおり「限りなく遠く」のことなのです。
少なくとも有限の範囲では、平行な２直線が交差しないのは明らかでしょう。
でも、まっすぐに伸びた線路を見るとき、その２本のレールは『限りなく遠く（無限遠点）で交差する』ように見えませんか？
そろそろ、話をまとめていくことにしましょう。
楕円を限りなく引き伸ばした図形。それは次のように考えることができます。
「限りなく遠く（無限遠点）に両端がある楕円は、平行な２直線と等しい。」
つまり、二次曲線の式によって表される平行な２直線は、楕円の特別な場合と言えるのです。
やはり、平行な２直線を「円錐の切り口に現れる直線」として考えるのは難しいようですね。
みなさんはどうお考えでしょうか。
私は、このことを答えにしたいと思うのですが。
難しいことばかりを書いてしまいましたが、やっと話にまとまりがつきました。今度こそ、これで一安心。
…と思っていたのですが、また、見落としがあったことに気が付いてしまいました。
その見落としの一端については、今回も本文中に少しだけ書いてありますし、円のグラフと円を表す式を並べて見ていたときに気が付いたのですが、ここでさらに話を長引かせることは、やめておきましょう。
この話は、第３話「どこにあるの？」でまとめることにいたします。
それではまた。